Emmy Noethers teorem

Emmy Noether föddes 1882 i ett välbeställt hem i Erlangen. Hennes pappa, Max Noether, var matematiker. När Emmy vid 1900-talets början sökte sig till universitetsvärlden i Tyskland var många positioner och platser helt otillgängliga för kvinnor. Fram till 1903 kunde kvinnor inte skriva in sig på naturvetenskapliga utbildningar, utan enbart vara åhörare. Emmy gick därför en lärarutbildning, men utnyttjade sin rätt att i alla fall lyssna på matematikföreläsningar, även om det inte var meriterande för henne.

Utan sin familjs pengar och Max Noethers kontakter hade Emmy inte haft möjlighet att alls ägna sig åt matematik. Trots att hon lyckades doktorera i ämnet 1907 dröjde det många år innan hon kunde försörja sig själv. I åtta år undervisade hon sin fars studenter utan lön vid Erlangens universitet. Via sin pappa lärde hon känna de berömda matematikerna Felix Klein och David Hilbert, som bjöd in henne till universitet i Göttingen när de insåg hur matematiskt begåvad hon var. 1915 ansökte de tillsammans för första gången om dispens från de regler som hindrade kvinnor från att påbörja en akademisk karriär i Tyskland. Sedan följde en ytterligare fyra år lång process innan Emmy fick en riktig akademisk tjänst.

Efter det första avslaget på Emmy Noethers ansökan gjordes flera skrivelser och pläderingar för hennes sak. Många av dem hänvisade till den extraordinära situationen i ett krigshärjat Europa. De välvilligt inställda akademikerna påtalade att det rådde brist på duktiga matematiker i Göttingen, framför allt i krigstid. De inte så välvilligt inställda hävdade tvärtom att könssegregering var en överordnad nödvändighet, framför allt i krigstid. För vad skulle hända med Tyskland om kvinnorna valde akademiska karriärer istället för att bilda familjer och fostra nästa generations soldater?

Samtidigt som den här processen pågick lät David Hilbert Emmy föreläsa på en del av sina lektioner, trots att det inte var tillåtet. Han var en världsberömd medelålders matematiker som i henne såg en matematisk läggning lik hans egen. När Hilberts lektioner började satte han sig på första bänkraden och lämnade pulpeten till sin gode vän Max dotter. Kanske tänkte han att det var synd och skam att hon råkade vara kvinna. Så onödigt mycket energi som behövde läggas på att kringgå akademins regler, när hennes intelligens syntes på långt håll. ”Det är väl inget badhus, det här?” ska Hilbert med höjda ögonbryn ha undrat under en av alla turerna i att inkludera Emmy på Göttingens matematikinstitution.

Emmy själv hankade sig fram, oavlönad och i vissa kretsar trots allt ovälkommen. Det var under de här åren hon samarbetade med Einstein. Noether och Einstein var båda sysselsatta med energins bevarande, som till exempel förklarar vad som händer när ett äpple faller från en gren. Från början har äpplet en potentiell energi som beror på dess höjd över marken. När det slår i gräset har all denna energi omvandlats till rörelse. Ingen energi tillkommer och ingen går förlorat. Allt bevaras. Det går därför att räkna ut äpplets hastighet utifrån dess fallhöjd.

Detta faktum hade människor känt till länge. På 1800-talet döptes regeln om energins bevarande till termodynamikens första huvudsats. Men ingen visste varför det förhåller sig så att energi aldrig skapas eller förstörs, utan enbart omvandlas. Och Emmy Noether gav inte mycket för påståenden som inte innefattade sin egen ändamålsenlighet, som inte förklarade varför de var som de var. Hon hatade till exempel uteslutningsmetoder, detta simpla uppstaplande av meningslösa fakta som istället för att gå till botten med fenomenet ifråga bara cirkulerar runt det och hävdar vad det inte är.

Många matematiska bevis bygger på uteslutningsmetoder. Först visar man att a skulle kunna vara mindre än eller lika med b, sedan att a ur ett annat perspektiv skulle kunna vara större än eller lika med b.  Och då är den enda logiska slutsatsen att a måste vara exakt lika med b. Emmy Noether använde det som typexempel på ett dåligt matematiskt bevis. Ett bra matematiskt bevis skulle inte bara visa att det ena var lika med det andra utan också förklara varför det var så. Den som genomförde det skulle slippa följdfrågor.

På denna punkt var Emmy oresonlig. En gång under en föreläsning var hon mitt inne i ett lite halvt improviserat matematiskt bevis i sin egen smak, ett som berättade varför a var lika med b. Plötsligt insåg hon att det inte skulle lyckas. För att ro iland beviset skulle hon bli tvungen att tillgripa en intetsägande uteslutningsmetod. Hon kastade kritan i golvet och svor.

Det räckte alltså inte att veta att energin är bevarad – man måste förstå varför det är så. Denna förståelse är numera baserad på Emmy Noethers mest berömda teorem. Vad teoremet visar är att kvantiteter som energi bevaras därför att naturliga processer är oberoende av de specifika omständigheter under vilka de sker.

Sticklingen från Newtons äppelträd vid Trinity College bär ännu inga frukter, men jag tar en bild av den ändå. Det finns flera anledningar till att jag befinner mig här denna februaridag. Jag fick ett stipendium för en konferensresa som aldrig blev av på grund av covid-19, vilket gav mig en möjlighet att åka någonstans. Jag tänkte att Cambridge skulle vara rätt plats för tillblivelsen av en vetenskapshistorisk essä. Och så råkar jag vara kär i en man som befinner sig här just nu.

Det här hade blivit en helt annan essä om den hade skrivits på en annan plats än denna. I en människas liv är platser och tidpunkter helt avgörande. Noethers teorem står i direkt motsättning till den erfarenheten, eftersom teoremet handlar om vad som händer när händelser är helt oberoende av sådana konkreta omständigheter. Detta oberoende kallas för en symmetri.

Det symmetriska är proportionerligt och perfekt. Nästan på gränsen till tråkigt. Det finns ingen skevhet i symmetrin, ingen detalj som rubbar den visuella balansen. Och det är ofta skevheterna och de unika detaljerna en betraktare minns – det är därför filmstjärnorna förr i tiden målade skönhetsfläckar ovanför sina perfekt symmetriska läppar. Det som gör symmetrin tråkig och mindre minnesvärd är dess förutsägbarhet. Efter en första anblick vet man hur det symmetriska ser ut, även från de vinklar man själv inte sett.

Ett klot ser till exempel likadant ut från alla håll. I vetskap om klotets perfekta symmetri räcker det att kasta ett snabbt öga på det för att bilda sig en uppfattning om dess storlek, sedan kan man lugnt luta sig tillbaka och konstruera en tredimensionell ritning som överensstämmer med verkligheten. Perspektivet kan förändras utan att klotet byter skepnad. Betraktarens utgångspunkt spelar ingen roll. Klotet är rotationssymmetriskt, oberoende av riktningar, och Emmy Noethers teorem visar att det är därför klotet inte tippar åt något håll när det snurrar. Det bevarar sin balans, eller sitt rörelsemängdsmoment.

För två klot som krockar, till exempel på ett biljardbord, spelar det heller ingen roll var krocken sker. Så länge bordet inte är skevt eller underlaget alltför slitet är det bara klotens positioner i förhållande till varandra och deras utgångshastigheter som avgör hur lyckad träffen blir. För att lära sig spela biljard behöver man därför inte besöka alla barer eller provskjuta på vartenda biljardbord. En krock mellan två kulor är oberoende av plats, eller symmetrisk i rummet, och därför är kulornas totala rörelse (deras rörelsemängd) bevarad genom stöten. Hastigheterna omfördelas mellan kulorna, men deras gemensamma fart förblir konstant.

Rörelse är en viss typ av energi. Sedan finns det andra: till exempel den potentiella energi som vilar i ett utgångsläge högt över marken och som omvandlas till rörelse när ett föremål faller. Ett sådant fall ser likadant ut oavsett när det sker. Detsamma gäller en krock mellan två biljardkulor. Det spelar ingen roll för händelseförloppen om de utspelar sig på dagen eller natten, på medeltiden eller idag, så länge de övriga förutsättningarna är likadana. Det räcker att analysera ett enda experiment för att kunna förutsäga vad som kommer att hända i nästa, för fysikaliska händelser är oberoende av tidpunkt. De är symmetriska i tiden. Och det är denna symmetri som enligt Emmy Noethers teorem gör att den totala energin i ett händelseförlopp är bevarad. All potentiell energi omvandlas till rörelse när något faller, ingen energi går förlorad.

Emmy Noether samlade ihop allt detta i en enda ekvation: riktningsoberoendet och bevarandet av balans, platsoberoendet och bevarandet av rörelse, tidsoberoendet och bevarandet av energi. Balans bygger på riktning på ett intuitivt sätt, likaså rörelse på position. Energi utgår från tid på ett mer dunkelt sätt. Energi är ett mått på hur mycket som händer inom en viss tidsrymd: hur många gånger en pendel svänger per sekund, hur mycket elektricitet vi förbrukar på en timme, hur mycket näring vi förbränner på en 30 minuter lång löprunda.

Noether var en matematiker med en förkärlek för abstraktion. Detta är smärtsamt tydligt för den som försöker förstå hennes teorem. Det består i en mäktig men svårtydbar generalisering: för att någonting ska kunna bevaras måste det finnas ett oberoende av dess konkreta utgångspunkter, en symmetri.

Det är inte bara tiden som hotar de mjuka gräsmattorna, utan också alla fötter som tillhör icke betrodda personer. Virginia Woolf beskriver hur hon tar några steg över gräset, och genast blir tillsagd att hålla sig till grusgångarna. I egenskap av kvinna får hon inte lov att gå på gräset bakom murarna. Nuförtiden är regeln uppdaterad till en könsneutral version, men det är enbart seniora forskare som får lov att beträda gräset. Sådana som jag får därför fortfarande snällt följa uppmaningen på de många skyltar som omger gräsmattorna: ”Keep off the grass.”

Platser så tunga av traditioner och vetenskapshistoriskt herravälde välkomnar vissa men inte andra. Så var det också i Göttingen, det tyska matematikcentrum som Emmy Noether kämpade för att tillhöra på 1910-talet. Det spelade ingen roll att det var hennes ekvation, inte Einsteins, som äntligen hade förklarat varför energin är bevarad i naturliga processer. Hon var kvinna och därför fick hon inte göra akademisk karriär.

De många försöken att trotsa dessa regler var ingen feministisk kamp. Gång på gång poängterade förespråkarna, däribland Emmy själv, att ingen genomgripande regelförändring efterfrågades. Det rörde sig bara om ett undantag. Kvinnor i allmänhet behövde inte ges åtkomst till den akademiska karriärstegen, det var bara Emmy Noethers exceptionella begåvning man så gärna ville ta vara på.

Vid den här tiden kallar de många kollegorna och vännerna henne för ”der Noether”, med maskulin artikel. Underförstått: Emmy Noether är ingen riktig kvinna. Hon pratar högt och fort och alldeles för mycket, inte sällan om obegripliga matematiska teorem. Hon beskrivs som kort och oelegant. Hon klär sig i mörka, oformliga kläder. Ofta bär hon manshatt. Hon gifter sig heller aldrig.

Men i de akademiska sammanhang hon rörde sig i var detta en förtjänst snarare än en belastning. Det gjorde henne till en riktig matematiker, för i matematikens abstrakta värld fanns ingen plats för feminina kroppar. Den allmänna uppfattningen var att der Noether hade offrat vad man vid den här tiden ansåg behövde offras för ett liv i kunskapens ljus: sin kvinnliga åtråvärdhet och därmed även sin egen åtrå. För detta blev hon inte bara hånad, utan också respekterad. Hon blev en i gänget, eftersom hennes kön gick att bortse från.

Två decennier senare tog nazisterna makten i Tyskland. Emmy Noether var judinna och förbjöds därför att undervisa vid Göttingens universitet 1933. Hennes kolleger argumenterade nu för att hon borde betraktas som ett undantag även i denna fråga. De lyfte fram hennes ”ariska tänkande” men betonade också att Noethers intellekt inte bara överskred hennes kön, utan också hennes ursprung. Argumentet stärktes av att hon varken var religiöst troende eller praktiserade några judiska traditioner.

Känslan av att vara alltför mycket kropp är intellektuellt förlamande. En enda blick kan frammana ett sådant tillstånd. Det känns som om kroppen växer medan idéerna skrumpnar ihop. De analytiska resonemangen blir omöjliga att föra. Man har ingenting att säga längre, inga åsikter, inga kommentarer. Kvar finns bara kvinnokroppen.

Jag har fått sådana blickar. Därför vet jag hur befriande det kan vara att undslippa sin kropp för en stund. Att få vara i ett rum utan iakttagande ögon, på en plats utan störande moment. Virginia Woolf skriver om Cambridge: ”När man vandrade fram mellan de där collegebyggnaderna, förbi de ålderdomliga hallarna, var det som om alla det närvarande ögonblickets kantigheter hade jämnats ut; det var som om ens kropp hade varit innesluten i ett underbart glasskåp, som intet ljud kunde genomtränga, och där tanken, befriad från varje beröring med fakta (för så vitt man inte än en gång inkräktade på gräsmattan) efter eget skön kunde slå sig på den fundering, som den för ögonblicket var bäst samstämd med.”

Jag tänker på det när jag står framför äppelträdet. I århundraden har män – och undantagsvis en och annan kvinna – tänkt stora tankar i miljöer som denna. En av de mest storslagna tankarna är att det med hjälp av matematisk abstraktion går att komma fram till en objektiv beskrivning av verkligheten. Den brukar spåras till den vetenskapliga revolutionen i Europa på 1600-talet.

Någonting hände med relationen mellan människan och naturen vid den tiden. Naturen gick från att vara en motpart – ömsom hotfull, ömsom undergiven, men åtminstone levande – till att vara ett urverk att plocka isär, en mekanisk konstruktion att bemästra. Fortfarande var naturen guds gåva till människan, men gud förvandlades från en överbeskyddande godsägare som ger barnen arbete och avkastning hemma på gården, till en stressad ingenjör som sticker åt sonen en komplicerad maskin och sedan drar sig tillbaka.

Och så började de gudfruktiga sönerna att undersöka verklighetens mekanismer. Vetenskapen omorganiserades: publika experimentshower blev på modet, resultaten spreds i vetenskapliga tidskrifter eller rapporter. Systematiskt skulle vetenskapen ta sig an naturen, genom noggranna iakttagelser, beräkningar och upprepningar. Fick man ett äpple i huvudet tog man upp det och släppte det från samma höjd en gång till, och antecknade vad som hände. Även om det där med äpplet i huvudet troligen är en myt var det ungefär så Newton gick till väga när gravitationsteorin växte fram. Man släpper föremål efter föremål från olika höjder, man upprättar matematiska samband mellan hastigheter och höjder, och så inser man till slut hur allt hänger ihop, för alla föremål, från alla höjder. Från sina glasskåp tittar vetenskapsmännen förnöjt ut på den omvärld de lyckats fånga, förklara och slutligen isolera sig själva ifrån.

Det som Virginia Woolf kallar ”det närvarande ögonblickets kantigheter” slipas ned. Kvar blir evighetens jämna transparens. Om inte experiment hade kunnat upprepas hade evigheten fått offras, för den blir till genom den exakta återupprepningens tidlöshet. Och för att ett experiment ska kunna upprepas måste händelsen som observeras vara oberoende av tid, symmetrisk i tiden. Om ett experiment påverkas av klockslag eller datum är det inte upprepningsbart. Det omvandlas till en unik fallstudie och förlorar sin generaliserbarhet. Naturens tidssymmetri är därför en förutsättning för det naturvetenskapliga tillvägagångssätt som bygger på systematisk upprepning av experiment och matematisk generalisering av fysikaliska processer. Detta är kärnan i Noethers teorem: För att något ska gå att bevara, måste det kunna upprepas.

Emmy Noethers teorem speglar på sätt och vis den vetenskapliga revolutionens enkla men systematiska experimenterande. Men det skulle också bli avgörande för de metoder som efterträdde 1600-talets vetenskapliga praktiker, och för de teorier som omkullkastade Newtons världsbild.

En ekvation kan säga mycket mer om världen än ett experiment.

Relativitetsteorin och kvantfysiken som slog igenom i början av 1900-talet var baserade på matematik i högre utsträckning än fysikaliska teorier brukade vara. Det är teorier som bara är giltiga under extrema omständigheter: i mycket höga hastigheter, bland stjärnorna, eller i mycket små skalor, bland elektronerna. För äpplena är vi ju liksom färdiga med. Nu är det äpplenas innersta beståndsdelar fysikerna försöker närma sig. Och de är inte lika lätta att upprepade gånger släppa från en viss höjd. De matematiska sambanden är mer lättillgängliga än experimenten, och därför utgår fysikerna ofta från de förra snarare än de senare. En ekvation kan säga mycket mer om världen än ett experiment, för ekvationen är mer generell, mer abstrakt. Noethers teorem visar att en simpel omständighet – ett oberoende av en variabel som tid, en symmetri – kan påvisa en naturlag som den om energins bevarande. Så istället för att leta efter sådana lagar i världsliga experiment blir det möjligt att leta efter dem i matematiska symmetrier.

Den gren av matematiken som Emmy Noether ägnade sig åt, abstrakt algebra, spred sig som en löpeld i den teoretiska fysiken under andra halvan av 1900-talet. Hennes estetiska preferenser fick också stort genomslag: det är idag en allmän uppfattning att fysikaliska teorier bör vara så abstrakta och generella som möjligt, oberoende av det som luktar, smakar, hörs och känns.

Emmy Noethers inflytande hade inte blivit så stort om hon inte hade lämnat efter sig en så stor intellektuell familj. I Göttingen samlade hon de begåvade matematikstudenterna omkring sig.  Hennes studiegrupper kallades ”Noetherskolan” eller ”Noetherfamiljen”. Hon förmedlade sina idéer under långa promenader, vid sitt middagsbord, i solen på bänkarna utanför universitetsområdet. Det finns många vittnesmål om hur svårt det var att hänga med i hennes resonemang. Emmy Noether gjorde ofta matematiska härledningar muntligt, och alla som någon gång har genomfört en härledning vet hur svårt det är utan papper och penna. Men någonting snappade hennes studenter onekligen upp, för flera av dem skrev senare inflytelserika läroböcker i modern algebra. Emmy tog hand om sina studenter. Hon lärde upp dem i det abstrakta matematiska tänkande som var hennes signum och som blev hennes arv.

På 1920-talet börjar hon kallas för ”den moderna algebrans moder”. Den moderna algebran består inte av beräkningar utan av kategorisering och översikt. Den är en stor och abstrakt karta, som visar hur allting hänger ihop. Och när Noethers karta exporterades till fysiken stöptes den om till en ny världsbild.

Den här inriktningen på matematik och abstrakta samband inom fysiken har rönt stora framgångar. Otaliga tidigare okända partiklar eller astronomiska fenomen har bekräftats experimentellt efter rent matematiska förutsägelser om deras existens. Men fokuseringen på Emmy Noethers stora och vackra matematiska system har också fått kritik. Fysikern Sabine Hossenfelder menar att den vetenskapliga metoden är i fara. Fysikerna riskerar att gå vilse i jakten på symmetrier och sammanhängande matematiska system och därmed tappa bort den tydliga empiriska stig som har lett naturvetenskapen framåt sedan 1600-talet. Matematiken når längre än experimenten. Men den är också mer spekulativ. Matematiska teorier måste ju inte avspegla verkligheten.

Det är lätt att gå vilse i matematikens abstrakta värld. Och det är svårt att göra den till sin. Kanske framförallt om man inte bara görs påmind om sin kropp av omvärldens blickar, utan också i stor utsträckning identifierar sig med den. Kroppens skönhet går inte att separera från dess förgänglighet och brister. Kroppen kan aldrig undfly platserna och stunderna som fastnar i hudens föränderliga minne.

Emmy Noether dog innan de mest genomgripande konsekvenserna av hennes teorem blev synliga. Upptäckten av sambandet mellan upprepning och bevarande hjälpte till att vända på den process som ledde Newton till gravitationslagarna. Newton räknade fram planeternas rörelser utifrån äpplet som föll från ett av alla små knotiga äppelträd på jorden. Einsteins relativitetsteori som ersatte Newtons teorier beskriver gravitation inte som en kraft som drar världsliga ting nedåt, utan som en upptrampad stig i rymden som solar och planeter följer. Det är en teori som utgår från stjärnorna och ekvationerna och som bara med nöd och näppe går att applicera även på äpplen. Relativitetsteorin är del av en fysikalisk världsbild som målar upp verkligheten utifrån matematiken, istället för att ställa upp matematiska samband utifrån verkliga experiment, som på Newtons tid. Emmy Noethers teorem lösgjorde fysiken från de vardagliga händelserna och de trygga markerna.

En matematisk härledning behöver bara göras en enda gång för att alla ska övertygas om att den är sann. Ett experiment måste däremot upprepas gång på gång innan det går att lita på. Matematiken är förförisk på det sättet. Tidlös och oföränderlig till sin natur. Utan begränsningar, utan kropp. Kanske var det därför Emmy Noethers kärlek till matematiken var så bestående. Kanske är det också därför vi flockas framför Newtons äppelträd. För att vi förförs av tanken på intellektuell samhörighet med människor från en annan tid.