Lyssna

Emmy Noethers teorem

Under första halvan av 1900-talet kallades den tyska matematikern Emmy Noether för ”den moderna algebrans moder”. Noether samarbetade med Einstein och hennes viktigaste teorem bidrog till att vända på en världsbild som varit sann sedan Newtons dagar. Idag är h0n i stort sett bortglömd. Historikern Julia Ravanis följer Emmy Noether i spåren, reflekterar över tänkandets skönhet och naturvetenskapens kön.

Framför Trinity College i Cambridge, England, står ett knotigt litet äppelträd på en gräsmatta. Det är februari men gräset är redan översållat av vita och lila krokusar. Bakom muren som skiljer gräset från gatan trängs turister och några studenter. Precis som jag har de stannat upp för att betrakta trädet.

Äppelträdet vi tittar på sägs vara en stickling från det berömda träd som Isaac Newton satt vid när han för 350 år sedan började fundera över varför äpplen faller nedåt. Det är en scen så bra att den måste vara sann: den förbjudna kunskapens frukt träffar den store vetenskapsmannen i huvudet och väcker den tanke som på sikt ska revolutionera allas vår världsbild. Varför faller äpplen nedåt? För att jorden drar i dem, för att den här planeten – i likhet med alla andra himlakroppar – med sin tyngd utövar en kraft som får mindre ting att falla mot dess centrum. Newtons gravitationslag utgick ifrån äpplets neddimpande och kunde ur denna triviala händelse förklara hela solsystemets harmoniska himlaspel.

Tre och en halv kilometer från Newtons Trinity College ligger ett annat, inte lika berömt college. Girton College var under den första halvan av 1900-talet det ena av två kvinnocollege i Cambridge. Hit lockades de mest framstående kvinnliga forskarna i Europa. En av dem var den tyska matematikern Emmy Noether.

Emmy Noether utvecklade den gren av matematiken som kallas abstrakt algebra och som kom att förändra den teoretiska fysiken i grunden. Under 1910-talet samarbetade hon med Albert Einstein. Det var samtidigt som Einstein formulerade den allmänna relativitetsteorin, vilken så småningom kom att ersätta Newtons förståelse av gravitation. Emmy Noether spelade en avgörande roll i att kasta om den newtonska världsbilden. Ändå är hon i stort sett okänd.

Jag hörde talas om Emmy Noether för första gången under en föreläsning för några år sedan. Föreläsaren berättade bland annat att hon under lång tid undervisade under en mer berömd, manlig matematikers namn. Jag blev nyfiken. Vem var egentligen denna Emmy Noether? Vad hade hon för relation till den andra matematikern? Vilka drivkrafter fick henne att slå sig fram i 1910-talets för kvinnor så hårda akademiska värld?

När föreläsningen var slut gick jag och köpte kaffe. Tänkte på något mer brådskande. Men bilden av Emmy, som formulerat ett av de mest inflytelserika teoremen i modern fysik, och som bidrog till övergången från Newtons till Einsteins universum, har aldrig riktigt lämnat mig.

 

Utsnitt av en matematik tabell i Emmy Noethers ”Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form” (1908). Foto: Public domain.

 

Teoremet som är uppkallat efter Emmy Noether beskriver upprepningsbarheten i naturen och dess betydelse för vetenskapen. Det fångar själva förutsättningarna för den vetenskapliga metod som utvecklades under Newtons 1600-tal. Genom systematiska upprepningar av experiment och abstrakta beskrivningar av händelseförlopp visade det sig möjligt att komma fram till hur naturen på ett generellt plan fungerade. Noethers ekvationer beskriver fysikens tidlöshet, villkoren för de naturlagar som förbinder Newtons tid med vår egen.

Emmy själv var dock fast i sin egen tid. Anledningen till att hon alls övervägde att ta en tjänst vid Girton College i Cambridge var att hon tvingades fly undan nazismen på 1930-talet. Girton var ett av två kvinnocollege som välkomnade Emmy efter Hitlers maktövertagande i Tyskland.

Avståndet mellan Girton och mer anrika college som Newtons Trinity har minskat med åren – 1948 blev de college som riktar sig till kvinnor formellt likställda med universitetets övriga college. Men det geografiska avståndet är detsamma. Det tar ungefär 50 minuter att promenera från Cambridges pittoreska stadskärna till Girton.

Emmy Noether kom aldrig till Girton. Och det gör inte jag heller. Jag står kvar vid äppelträdet. Bakom trädet höjer sig collegekapellens medeltida tinnar och torn, men bredvid det vajar en Prideflagga som vittnar om den tid som trots allt passerat sedan Newton satt här och funderade. I Cambridge finns ytterligare en Newtonsk trädarvinge, som precis välts omkull av stormen Eunice. Sticklingar och frön från dessa speciella äppelträd bevaras andäktigt, medan träden själva växer och faller, förändras och förmultnar. Newtons träd är för alltid förgånget.

Äpplena faller åtminstone på samma sätt som förr. Hastigheten som frukterna från nutidens äppelträd har när de slår i marken fortsätter att enbart bero på fallhöjden. Det spelar ingen roll vilket träd de faller ifrån eller vilket århundrade de faller. Kontexten har ingen betydelse. På den här punkten skiljer sig naturvetenskapliga experiment från samhällsvetenskapliga undersökningar, mänskliga interaktioner och historiska händelser, som alla är dömda till singularitet och präglas av unika omständigheter. Kanske är möjligheten till exakt återupprepning den största tjusningen med naturvetenskaplig forskning.

Emmy Noethers teorem fångar upprepningsbarhetens attraktionskraft. Men ironiskt nog skulle det också bidra till att slå undan den säkra marken under fysiken.

 

Emmy Noether föddes 1882 i ett välbeställt hem i Erlangen. Hennes pappa, Max Noether, var matematiker. När Emmy vid 1900-talets början sökte sig till universitetsvärlden i Tyskland var många positioner och platser helt otillgängliga för kvinnor. Fram till 1903 kunde kvinnor inte skriva in sig på naturvetenskapliga utbildningar, utan enbart vara åhörare. Emmy gick därför en lärarutbildning, men utnyttjade sin rätt att i alla fall lyssna på matematikföreläsningar, även om det inte var meriterande för henne.

Utan sin familjs pengar och Max Noethers kontakter hade Emmy inte haft möjlighet att alls ägna sig åt matematik. Trots att hon lyckades doktorera i ämnet 1907 dröjde det många år innan hon kunde försörja sig själv. I åtta år undervisade hon sin fars studenter utan lön vid Erlangens universitet. Via sin pappa lärde hon känna de berömda matematikerna Felix Klein och David Hilbert, som bjöd in henne till universitet i Göttingen när de insåg hur matematiskt begåvad hon var. 1915 ansökte de tillsammans för första gången om dispens från de regler som hindrade kvinnor från att påbörja en akademisk karriär i Tyskland. Sedan följde en ytterligare fyra år lång process innan Emmy fick en riktig akademisk tjänst.

Efter det första avslaget på Emmy Noethers ansökan gjordes flera skrivelser och pläderingar för hennes sak. Många av dem hänvisade till den extraordinära situationen i ett krigshärjat Europa. De välvilligt inställda akademikerna påtalade att det rådde brist på duktiga matematiker i Göttingen, framför allt i krigstid. De inte så välvilligt inställda hävdade tvärtom att könssegregering var en överordnad nödvändighet, framför allt i krigstid. För vad skulle hända med Tyskland om kvinnorna valde akademiska karriärer istället för att bilda familjer och fostra nästa generations soldater?

Samtidigt som den här processen pågick lät David Hilbert Emmy föreläsa på en del av sina lektioner, trots att det inte var tillåtet. Han var en världsberömd medelålders matematiker som i henne såg en matematisk läggning lik hans egen. När Hilberts lektioner började satte han sig på första bänkraden och lämnade pulpeten till sin gode vän Max dotter. Kanske tänkte han att det var synd och skam att hon råkade vara kvinna. Så onödigt mycket energi som behövde läggas på att kringgå akademins regler, när hennes intelligens syntes på långt håll. ”Det är väl inget badhus, det här?” ska Hilbert med höjda ögonbryn ha undrat under en av alla turerna i att inkludera Emmy på Göttingens matematikinstitution.

Emmy själv hankade sig fram, oavlönad och i vissa kretsar trots allt ovälkommen. Det var under de här åren hon samarbetade med Einstein. Noether och Einstein var båda sysselsatta med energins bevarande, som till exempel förklarar vad som händer när ett äpple faller från en gren. Från början har äpplet en potentiell energi som beror på dess höjd över marken. När det slår i gräset har all denna energi omvandlats till rörelse. Ingen energi tillkommer och ingen går förlorat. Allt bevaras. Det går därför att räkna ut äpplets hastighet utifrån dess fallhöjd.

Detta faktum hade människor känt till länge. På 1800-talet döptes regeln om energins bevarande till termodynamikens första huvudsats. Men ingen visste varför det förhåller sig så att energi aldrig skapas eller förstörs, utan enbart omvandlas. Och Emmy Noether gav inte mycket för påståenden som inte innefattade sin egen ändamålsenlighet, som inte förklarade varför de var som de var. Hon hatade till exempel uteslutningsmetoder, detta simpla uppstaplande av meningslösa fakta som istället för att gå till botten med fenomenet ifråga bara cirkulerar runt det och hävdar vad det inte är.

Många matematiska bevis bygger på uteslutningsmetoder. Först visar man att a skulle kunna vara mindre än eller lika med b, sedan att a ur ett annat perspektiv skulle kunna vara större än eller lika med b.  Och då är den enda logiska slutsatsen att a måste vara exakt lika med b. Emmy Noether använde det som typexempel på ett dåligt matematiskt bevis. Ett bra matematiskt bevis skulle inte bara visa att det ena var lika med det andra utan också förklara varför det var så. Den som genomförde det skulle slippa följdfrågor.

På denna punkt var Emmy oresonlig. En gång under en föreläsning var hon mitt inne i ett lite halvt improviserat matematiskt bevis i sin egen smak, ett som berättade varför a var lika med b. Plötsligt insåg hon att det inte skulle lyckas. För att ro iland beviset skulle hon bli tvungen att tillgripa en intetsägande uteslutningsmetod. Hon kastade kritan i golvet och svor.

Det räckte alltså inte att veta att energin är bevarad – man måste förstå varför det är så. Denna förståelse är numera baserad på Emmy Noethers mest berömda teorem. Vad teoremet visar är att kvantiteter som energi bevaras därför att naturliga processer är oberoende av de specifika omständigheter under vilka de sker.

 

Sticklingen från Newtons äppelträd vid Trinity College bär ännu inga frukter, men jag tar en bild av den ändå. Det finns flera anledningar till att jag befinner mig här denna februaridag. Jag fick ett stipendium för en konferensresa som aldrig blev av på grund av covid-19, vilket gav mig en möjlighet att åka någonstans. Jag tänkte att Cambridge skulle vara rätt plats för tillblivelsen av en vetenskapshistorisk essä. Och så råkar jag vara kär i en man som befinner sig här just nu.

Det här hade blivit en helt annan essä om den hade skrivits på en annan plats än denna. I en människas liv är platser och tidpunkter helt avgörande. Noethers teorem står i direkt motsättning till den erfarenheten, eftersom teoremet handlar om vad som händer när händelser är helt oberoende av sådana konkreta omständigheter. Detta oberoende kallas för en symmetri.

Det symmetriska är proportionerligt och perfekt. Nästan på gränsen till tråkigt. Det finns ingen skevhet i symmetrin, ingen detalj som rubbar den visuella balansen. Och det är ofta skevheterna och de unika detaljerna en betraktare minns – det är därför filmstjärnorna förr i tiden målade skönhetsfläckar ovanför sina perfekt symmetriska läppar. Det som gör symmetrin tråkig och mindre minnesvärd är dess förutsägbarhet. Efter en första anblick vet man hur det symmetriska ser ut, även från de vinklar man själv inte sett.

Ett klot ser till exempel likadant ut från alla håll. I vetskap om klotets perfekta symmetri räcker det att kasta ett snabbt öga på det för att bilda sig en uppfattning om dess storlek, sedan kan man lugnt luta sig tillbaka och konstruera en tredimensionell ritning som överensstämmer med verkligheten. Perspektivet kan förändras utan att klotet byter skepnad. Betraktarens utgångspunkt spelar ingen roll. Klotet är rotationssymmetriskt, oberoende av riktningar, och Emmy Noethers teorem visar att det är därför klotet inte tippar åt något håll när det snurrar. Det bevarar sin balans, eller sitt rörelsemängdsmoment.

För två klot som krockar, till exempel på ett biljardbord, spelar det heller ingen roll var krocken sker. Så länge bordet inte är skevt eller underlaget alltför slitet är det bara klotens positioner i förhållande till varandra och deras utgångshastigheter som avgör hur lyckad träffen blir. För att lära sig spela biljard behöver man därför inte besöka alla barer eller provskjuta på vartenda biljardbord. En krock mellan två kulor är oberoende av plats, eller symmetrisk i rummet, och därför är kulornas totala rörelse (deras rörelsemängd) bevarad genom stöten. Hastigheterna omfördelas mellan kulorna, men deras gemensamma fart förblir konstant.

Rörelse är en viss typ av energi. Sedan finns det andra: till exempel den potentiella energi som vilar i ett utgångsläge högt över marken och som omvandlas till rörelse när ett föremål faller. Ett sådant fall ser likadant ut oavsett när det sker. Detsamma gäller en krock mellan två biljardkulor. Det spelar ingen roll för händelseförloppen om de utspelar sig på dagen eller natten, på medeltiden eller idag, så länge de övriga förutsättningarna är likadana. Det räcker att analysera ett enda experiment för att kunna förutsäga vad som kommer att hända i nästa, för fysikaliska händelser är oberoende av tidpunkt. De är symmetriska i tiden. Och det är denna symmetri som enligt Emmy Noethers teorem gör att den totala energin i ett händelseförlopp är bevarad. All potentiell energi omvandlas till rörelse när något faller, ingen energi går förlorad.

Emmy Noether samlade ihop allt detta i en enda ekvation: riktningsoberoendet och bevarandet av balans, platsoberoendet och bevarandet av rörelse, tidsoberoendet och bevarandet av energi. Balans bygger på riktning på ett intuitivt sätt, likaså rörelse på position. Energi utgår från tid på ett mer dunkelt sätt. Energi är ett mått på hur mycket som händer inom en viss tidsrymd: hur många gånger en pendel svänger per sekund, hur mycket elektricitet vi förbrukar på en timme, hur mycket näring vi förbränner på en 30 minuter lång löprunda.

Noether var en matematiker med en förkärlek för abstraktion. Detta är smärtsamt tydligt för den som försöker förstå hennes teorem. Det består i en mäktig men svårtydbar generalisering: för att någonting ska kunna bevaras måste det finnas ett oberoende av dess konkreta utgångspunkter, en symmetri.

 

Sambandet mellan bevarande och frihet från partikulära omständigheter är både världsfrånvänt och lockande. Att vara oberoende av tiden är en uråldrig mänsklig dröm. Varje dag anstränger vi oss för att bevara vår hy, våra principer, våra relationer. Men oavsett hur mycket vi kämpar för att frigöra oss från förändringar och nedbrytande materiella krafter fortsätter våra liv att vara beroende av rummet och tiden, positionen och tajmingen.

Att ”träffa den rätta” är till exempel i hög grad en fråga om tajming. Det är bäst att träffas i rätt tid: inte i en alltför kaosartad tillvaro och inte för tidigt eller för sent i livet, utan helst i ett lugnare skede där båda parter är redo att ge varandra ungefär lika mycket. Det är bäst att träffas på rätt plats: inte på en takterrass i ett främmande land där man omöjligt kan stanna kvar, utan hellre på en kvarterskrog i en gemensam stad där relationen långsamt kan breda ut sig över gatorna och torgen.

I Emmy Noethers fall var tajmingen för att få en tjänst vid Göttingens universitet fel när hon ansökte för första gången 1915. Rösträtt för kvinnor hade ännu inte slagit igenom i Europa, fel personer satt på ledande positioner i ansökningsnämnden, det var krig och ingen hade tid för reformer. Så Emmy bidade sin tid.

Framgång föds enligt ett talesätt ur förmågan att ta vara på sitt flyt. Att vänta in och sedan utnyttja en gynnsam position, inte låta oförutsedda möjligheter slinka en ur händerna. För det gör de annars ofta. Livet tenderar att springa ifrån en. Platserna förändras, tiden går, även i anrika städer som Cambridge, där kyrktornen kastat likadana skuggor i hundratals år men träden trots allt fortsätter växa. Dåtiden är oåterkalleligt borta. Det är omöjligt att gå tillbaka och börja om, lika omöjligt att gå tillbaka och göra samma sak igen.

I människans värld är varje upprepning också en förskjutning. En nästan omärklig förändring sker alltid. Den härrör från detaljerna, de som obönhörligt skiftar och tvingar handlingar och relationer till outforskade marker. Man kan göra exakt samma saker i veckor, månader och år, för att en dag konstatera att allt är förändrat. Även de mest välbekanta rutinerna innehåller plötsligt helt nya, kanske outhärdliga, dimensioner. Eller tvärtom: man kan inrätta sitt liv efter sorgens konjunkturer, övertygad om att förlusten aldrig kommer att sluta plåga en, för att sedan med ens inse att ett annat liv faktiskt är möjligt.

Känslor förändras av tidens gång och tankar påverkas av platsen där de tänks.

Känslor förändras av tidens gång och tankar påverkas av platsen där de tänks. Cambridge är till exempel en stad berömd för att locka fram briljanta tankar. 121 Nobelpris har delats ut till forskare anslutna till Cambridge. Bara till Trinity College är motsvarande antal 34. Campusområdet jag promenerar omkring i är fullt av medeltida byggnader, jag kikar in genom deras munblåsta fönsterrutor. Där skymtar höga bokhyllor och guldinramade 1800-talsporträtt. Bakom murarna breder perfekta gräsmattor ut sig.

Jag tror att denna skönhet är en av förutsättningarna för alla de där Nobelprisen. Det måste vara betydligt svårare att tänka storslagna tankar om naturens konstitution i fula eller futtiga miljöer. Virginia Woolf inleder sin essä Ett eget rum med en betraktelse över Oxfords och Cambridges ståtliga universitetsområden. Det är lätt att låta tankarna flyga när omgivningarna är så vackra. Och middagarna så goda … Ett mörkt kyffe eller en seg oxstek – till exempel den som serveras på det fiktiva kvinnocollege Woolf också beskriver – stimulerar däremot inte några djupa samtal.

Det finns starka incitament att bevara universitetsområdenas skönhet. Englands monarker tävlade i århundraden om att bygga de största och vackraste universitetsbyggnaderna i Oxford och Cambridge. Newtons Trinity College är fortfarande en av de rikaste utbildningsinstitutionerna som finns. Marknadsvärdet på all denna gräsyta är förmodligen skyhögt. Men istället för att bygga dyra bostadsrätter med fula, inglasade balkonger längs med flodstränderna bevaras marken som den är. Utsikten från kontoren och universitetsbiblioteken är i stort sett likadan idag som för 400 år sedan. Men detta bevarande bygger på en artificiell symmetri. Över gräsmattorna i Cambridge rör sig en hel stab av arbetare beväpnade med gräsklippare, kantklippare, hackor och spadar som minutiöst bekämpar varje litet grässtrå som skulle kunna vittna om att tiden fortgår även här.

 

Det är inte bara tiden som hotar de mjuka gräsmattorna, utan också alla fötter som tillhör icke betrodda personer. Virginia Woolf beskriver hur hon tar några steg över gräset, och genast blir tillsagd att hålla sig till grusgångarna. I egenskap av kvinna får hon inte lov att gå på gräset bakom murarna. Nuförtiden är regeln uppdaterad till en könsneutral version, men det är enbart seniora forskare som får lov att beträda gräset. Sådana som jag får därför fortfarande snällt följa uppmaningen på de många skyltar som omger gräsmattorna: ”Keep off the grass.”

Platser så tunga av traditioner och vetenskapshistoriskt herravälde välkomnar vissa men inte andra. Så var det också i Göttingen, det tyska matematikcentrum som Emmy Noether kämpade för att tillhöra på 1910-talet. Det spelade ingen roll att det var hennes ekvation, inte Einsteins, som äntligen hade förklarat varför energin är bevarad i naturliga processer. Hon var kvinna och därför fick hon inte göra akademisk karriär.

De många försöken att trotsa dessa regler var ingen feministisk kamp. Gång på gång poängterade förespråkarna, däribland Emmy själv, att ingen genomgripande regelförändring efterfrågades. Det rörde sig bara om ett undantag. Kvinnor i allmänhet behövde inte ges åtkomst till den akademiska karriärstegen, det var bara Emmy Noethers exceptionella begåvning man så gärna ville ta vara på.

Vid den här tiden kallar de många kollegorna och vännerna henne för ”der Noether”, med maskulin artikel. Underförstått: Emmy Noether är ingen riktig kvinna. Hon pratar högt och fort och alldeles för mycket, inte sällan om obegripliga matematiska teorem. Hon beskrivs som kort och oelegant. Hon klär sig i mörka, oformliga kläder. Ofta bär hon manshatt. Hon gifter sig heller aldrig.

Men i de akademiska sammanhang hon rörde sig i var detta en förtjänst snarare än en belastning. Det gjorde henne till en riktig matematiker, för i matematikens abstrakta värld fanns ingen plats för feminina kroppar. Den allmänna uppfattningen var att der Noether hade offrat vad man vid den här tiden ansåg behövde offras för ett liv i kunskapens ljus: sin kvinnliga åtråvärdhet och därmed även sin egen åtrå. För detta blev hon inte bara hånad, utan också respekterad. Hon blev en i gänget, eftersom hennes kön gick att bortse från.

Två decennier senare tog nazisterna makten i Tyskland. Emmy Noether var judinna och förbjöds därför att undervisa vid Göttingens universitet 1933. Hennes kolleger argumenterade nu för att hon borde betraktas som ett undantag även i denna fråga. De lyfte fram hennes ”ariska tänkande” men betonade också att Noethers intellekt inte bara överskred hennes kön, utan också hennes ursprung. Argumentet stärktes av att hon varken var religiöst troende eller praktiserade några judiska traditioner.

Försöken att inkludera Noether i akademin trots att hon var en judisk kvinna präglades nog av en viss pragmatism. Det måste ha varit lättare (och på 1930-talet mindre riskfyllt) att propagera för att göra undantag än radikala regelförändringar. Men argumenten speglar ändå en ganska anmärkningsvärd syn på Emmy Noether: hon är sitt tänkande snarare än sin kropp. Och på detta sätt skiljer hon sig från andra människor från utsatta grupper. Historiskt sett är det i princip bara rika, vita män som haft förmånen att inte identifieras med sina kroppar.

Emmy engagerar sig för att hjälpa sin bror att fly från Tyskland men uttalar sig i övrigt inte om nazismen eller hjälpinsatserna för Europas judar. Det är inte en kamp hon aktivt för. När hon trots sina kollegers ansträngningar blir avstängd från Göttingens universitet på 1930-talet är det utländska kvinnocollege som erbjuder henne tillflyktsorter: Girton i Cambridge och Bryn Mawr i USA. Men Emmy är skeptisk. Kommer kvinnliga studenter verkligen kunna hänga med på hennes lektioner? Emmy Noether verkar liksom sina manliga kolleger i Göttingen övertygad om att hon själv är ett exceptionellt undantag.

Under ett par nervösa veckor funderar hon på vart hon ska ta vägen. Hon vill hellre till Girton. Cambridges högre status och närhet till hemlandet lockar. Men de erbjuder ingen fast tjänst, bara en kort tillfällig sådan. Helt välkommen in i Cambridges traditionstunga gemenskap är hon alltså inte. Till slut blir det därför Bryn Mawr. Motvilligt lämnar hon den stad hon levt i under större delen av sitt vuxna liv och det universitet hon kämpat så hårt för att bli en del av.

Studenterna vid Bryn Mawr hänger med på de svåra lektionerna och motbevisar därmed Emmys farhågor. Trots det hävdar Emmy bestämt att det bästa en kvinnlig matematiker kan göra för sin karriär är att gifta sig med en begåvad man i samma bransch – då kan hon åtminstone bidra till hans arbete. Emmy agerar därför match-maker för sina kvinnliga doktorander.

Ändå klarade sig Emmy Noether själv i akademin utan en make. Hon var utesluten från den formella gemenskapen på den plats där hon befann sig och utlämnad åt en samtid i vilken hennes kropp var en oöverstiglig begränsning. Samtidigt arbetade hon frenetiskt på teoremet som skulle förklara vad det innebär att inte vara förankrad i någon plats eller någon tid alls.

Ett år efter att hon publicerat sitt teorem, 1919, var tajmingen äntligen rätt: kriget var slut, kvinnor hade precis fått rösträtt i Tyskland och Emmy hade byggt upp ett imponerande kontaktnät av berömda matematiker från hela världen. Tolv år efter sin doktorsexamen fick hon sin efterlängtade formella tjänst vid Göttingens universitet.

Men långt innan matematiker blev Emmy Noethers legitima yrke var det hennes kall. Och när det gällde matematik hade hon tydliga estetiska preferenser. Graciöst rörde hon sig i algebrans abstrakta värld. Matematiska bevis skulle vara så vackra som möjligt, vilket innebar att de skulle vara så generella och abstrakta som möjligt, utan kopplingar till partikulära beräkningar eller konkreta omständigheter.

Det är ett skönhetsideal som tydligt avspeglar sig i Noethers teorem om bevarade kvantiteter och symmetrier. Symmetrin är i allra högsta grad estetisk. Och det fullständigt symmetriska är oberoende av allt det som gör någonting unikt: tidpunkten, platsen, riktningen. Det är slätt, avskalat och okroppsligt. Nästan överjordiskt.

Att livet trots allt är förgängligt och att människan omöjligt kan frigöra sig från sin egen kropp fick Emmy Noether snart personlig erfarenhet av. Hon drabbades av cancer på 1930-talet. En tumör i livmodern, det organ hennes kolleger skämtsamt hävdade att hon saknade. I efterdyningarna av en misslyckad operation dog hon, bara 53 år gammal. Under begravningen höll matematikern och Emmys nära vän Hermann Weyl ett tal. Han riktade sig till Emmy i talet och sa: ”Det fanns inget milt eller välbalanserat hos dig; du var inte lera som Gud med sina händer gav en harmonisk form, utan snarare ett primitivt mänskligt stenblock som han andades in kreativ livskraft i. Din genialitet tycktes överstiga ditt köns gränser.”

 

Känslan av att vara alltför mycket kropp är intellektuellt förlamande. En enda blick kan frammana ett sådant tillstånd. Det känns som om kroppen växer medan idéerna skrumpnar ihop. De analytiska resonemangen blir omöjliga att föra. Man har ingenting att säga längre, inga åsikter, inga kommentarer. Kvar finns bara kvinnokroppen.

Jag har fått sådana blickar. Därför vet jag hur befriande det kan vara att undslippa sin kropp för en stund. Att få vara i ett rum utan iakttagande ögon, på en plats utan störande moment. Virginia Woolf skriver om Cambridge: ”När man vandrade fram mellan de där collegebyggnaderna, förbi de ålderdomliga hallarna, var det som om alla det närvarande ögonblickets kantigheter hade jämnats ut; det var som om ens kropp hade varit innesluten i ett underbart glasskåp, som intet ljud kunde genomtränga, och där tanken, befriad från varje beröring med fakta (för så vitt man inte än en gång inkräktade på gräsmattan) efter eget skön kunde slå sig på den fundering, som den för ögonblicket var bäst samstämd med.”

Jag tänker på det när jag står framför äppelträdet. I århundraden har män – och undantagsvis en och annan kvinna – tänkt stora tankar i miljöer som denna. En av de mest storslagna tankarna är att det med hjälp av matematisk abstraktion går att komma fram till en objektiv beskrivning av verkligheten. Den brukar spåras till den vetenskapliga revolutionen i Europa på 1600-talet.

Någonting hände med relationen mellan människan och naturen vid den tiden. Naturen gick från att vara en motpart – ömsom hotfull, ömsom undergiven, men åtminstone levande – till att vara ett urverk att plocka isär, en mekanisk konstruktion att bemästra. Fortfarande var naturen guds gåva till människan, men gud förvandlades från en överbeskyddande godsägare som ger barnen arbete och avkastning hemma på gården, till en stressad ingenjör som sticker åt sonen en komplicerad maskin och sedan drar sig tillbaka.

Och så började de gudfruktiga sönerna att undersöka verklighetens mekanismer. Vetenskapen omorganiserades: publika experimentshower blev på modet, resultaten spreds i vetenskapliga tidskrifter eller rapporter. Systematiskt skulle vetenskapen ta sig an naturen, genom noggranna iakttagelser, beräkningar och upprepningar. Fick man ett äpple i huvudet tog man upp det och släppte det från samma höjd en gång till, och antecknade vad som hände. Även om det där med äpplet i huvudet troligen är en myt var det ungefär så Newton gick till väga när gravitationsteorin växte fram. Man släpper föremål efter föremål från olika höjder, man upprättar matematiska samband mellan hastigheter och höjder, och så inser man till slut hur allt hänger ihop, för alla föremål, från alla höjder. Från sina glasskåp tittar vetenskapsmännen förnöjt ut på den omvärld de lyckats fånga, förklara och slutligen isolera sig själva ifrån.

Det som Virginia Woolf kallar ”det närvarande ögonblickets kantigheter” slipas ned. Kvar blir evighetens jämna transparens. Om inte experiment hade kunnat upprepas hade evigheten fått offras, för den blir till genom den exakta återupprepningens tidlöshet. Och för att ett experiment ska kunna upprepas måste händelsen som observeras vara oberoende av tid, symmetrisk i tiden. Om ett experiment påverkas av klockslag eller datum är det inte upprepningsbart. Det omvandlas till en unik fallstudie och förlorar sin generaliserbarhet. Naturens tidssymmetri är därför en förutsättning för det naturvetenskapliga tillvägagångssätt som bygger på systematisk upprepning av experiment och matematisk generalisering av fysikaliska processer. Detta är kärnan i Noethers teorem: För att något ska gå att bevara, måste det kunna upprepas.

Emmy Noethers teorem speglar på sätt och vis den vetenskapliga revolutionens enkla men systematiska experimenterande. Men det skulle också bli avgörande för de metoder som efterträdde 1600-talets vetenskapliga praktiker, och för de teorier som omkullkastade Newtons världsbild.

En ekvation kan säga mycket mer om världen än ett experiment.

Relativitetsteorin och kvantfysiken som slog igenom i början av 1900-talet var baserade på matematik i högre utsträckning än fysikaliska teorier brukade vara. Det är teorier som bara är giltiga under extrema omständigheter: i mycket höga hastigheter, bland stjärnorna, eller i mycket små skalor, bland elektronerna. För äpplena är vi ju liksom färdiga med. Nu är det äpplenas innersta beståndsdelar fysikerna försöker närma sig. Och de är inte lika lätta att upprepade gånger släppa från en viss höjd. De matematiska sambanden är mer lättillgängliga än experimenten, och därför utgår fysikerna ofta från de förra snarare än de senare. En ekvation kan säga mycket mer om världen än ett experiment, för ekvationen är mer generell, mer abstrakt. Noethers teorem visar att en simpel omständighet – ett oberoende av en variabel som tid, en symmetri – kan påvisa en naturlag som den om energins bevarande. Så istället för att leta efter sådana lagar i världsliga experiment blir det möjligt att leta efter dem i matematiska symmetrier.

Den gren av matematiken som Emmy Noether ägnade sig åt, abstrakt algebra, spred sig som en löpeld i den teoretiska fysiken under andra halvan av 1900-talet. Hennes estetiska preferenser fick också stort genomslag: det är idag en allmän uppfattning att fysikaliska teorier bör vara så abstrakta och generella som möjligt, oberoende av det som luktar, smakar, hörs och känns.

Emmy Noethers inflytande hade inte blivit så stort om hon inte hade lämnat efter sig en så stor intellektuell familj. I Göttingen samlade hon de begåvade matematikstudenterna omkring sig.  Hennes studiegrupper kallades ”Noetherskolan” eller ”Noetherfamiljen”. Hon förmedlade sina idéer under långa promenader, vid sitt middagsbord, i solen på bänkarna utanför universitetsområdet. Det finns många vittnesmål om hur svårt det var att hänga med i hennes resonemang. Emmy Noether gjorde ofta matematiska härledningar muntligt, och alla som någon gång har genomfört en härledning vet hur svårt det är utan papper och penna. Men någonting snappade hennes studenter onekligen upp, för flera av dem skrev senare inflytelserika läroböcker i modern algebra. Emmy tog hand om sina studenter. Hon lärde upp dem i det abstrakta matematiska tänkande som var hennes signum och som blev hennes arv.

På 1920-talet börjar hon kallas för ”den moderna algebrans moder”. Den moderna algebran består inte av beräkningar utan av kategorisering och översikt. Den är en stor och abstrakt karta, som visar hur allting hänger ihop. Och när Noethers karta exporterades till fysiken stöptes den om till en ny världsbild.

Den här inriktningen på matematik och abstrakta samband inom fysiken har rönt stora framgångar. Otaliga tidigare okända partiklar eller astronomiska fenomen har bekräftats experimentellt efter rent matematiska förutsägelser om deras existens. Men fokuseringen på Emmy Noethers stora och vackra matematiska system har också fått kritik. Fysikern Sabine Hossenfelder menar att den vetenskapliga metoden är i fara. Fysikerna riskerar att gå vilse i jakten på symmetrier och sammanhängande matematiska system och därmed tappa bort den tydliga empiriska stig som har lett naturvetenskapen framåt sedan 1600-talet. Matematiken når längre än experimenten. Men den är också mer spekulativ. Matematiska teorier måste ju inte avspegla verkligheten.

Det är lätt att gå vilse i matematikens abstrakta värld. Och det är svårt att göra den till sin. Kanske framförallt om man inte bara görs påmind om sin kropp av omvärldens blickar, utan också i stor utsträckning identifierar sig med den. Kroppens skönhet går inte att separera från dess förgänglighet och brister. Kroppen kan aldrig undfly platserna och stunderna som fastnar i hudens föränderliga minne.

 

Emmy Noether dog innan de mest genomgripande konsekvenserna av hennes teorem blev synliga. Upptäckten av sambandet mellan upprepning och bevarande hjälpte till att vända på den process som ledde Newton till gravitationslagarna. Newton räknade fram planeternas rörelser utifrån äpplet som föll från ett av alla små knotiga äppelträd på jorden. Einsteins relativitetsteori som ersatte Newtons teorier beskriver gravitation inte som en kraft som drar världsliga ting nedåt, utan som en upptrampad stig i rymden som solar och planeter följer. Det är en teori som utgår från stjärnorna och ekvationerna och som bara med nöd och näppe går att applicera även på äpplen. Relativitetsteorin är del av en fysikalisk världsbild som målar upp verkligheten utifrån matematiken, istället för att ställa upp matematiska samband utifrån verkliga experiment, som på Newtons tid. Emmy Noethers teorem lösgjorde fysiken från de vardagliga händelserna och de trygga markerna.

En matematisk härledning behöver bara göras en enda gång för att alla ska övertygas om att den är sann. Ett experiment måste däremot upprepas gång på gång innan det går att lita på. Matematiken är förförisk på det sättet. Tidlös och oföränderlig till sin natur. Utan begränsningar, utan kropp. Kanske var det därför Emmy Noethers kärlek till matematiken var så bestående. Kanske är det också därför vi flockas framför Newtons äppelträd. För att vi förförs av tanken på intellektuell samhörighet med människor från en annan tid.

 


JULIA RAVANIS är doktorand i teknikhistoria vid Chalmers, skribent och författare till boken ”Skönheten i kaos” (Natur & Kultur 2021), som handlar om parallellerna mellan teoretisk fysik och mänskliga erfarenheter.


 

Bibliografi

Bowler, Peter J. & Morus, Iwan Rhys, Making Modern Science: A Historical Survey, andra upplagan (University of Chicago Press, 2020)

Hossenfelder, Sabine, Lost in math: How beauty leads physics astray (Basic Books 2018)

Neuenschwander, Dwigth, Emmy Noether’s wonderful theorem, andra upplagan (Johns Hopkins University Press 2017)

Rowe, David och Koreuber, Mechthild, Proving it her way: Emmy Noether, a life in mathematics (Springer 2020)

Woolf, Virginia, Ett eget rum, övers. Jane Lundblad (Modernista 2015)

 

Uppgifter om Nobelpris på Cambridge från https://www.cam.ac.uk/research/research-at-cambridge/nobel-prize